Основы теории управления |
3. Элементарные типовые звенья систем управления |
назад | оглавление | вперёд |
3 Элементарные типовые звенья систем управления
3.1 Пропорциональное безынерционное звено
1) Уравнение процессов в звене:
,
(3.1)
где k – передаточный коэффициент звена, k=const.
2) Операторное уравнение:
.
(3.2)
Передаточная функция звена:
.
(3.3)
3) Переходная функция – это реакция звена на единичное ступенчатое воздействие.
Переходная функция звена (см. рисунок 3.1) имеет вид:
Рисунок 3.1 - Переходная функция пропорционального безынертного звена
4) АФЧХ звена.
Частотная передаточная функция звена:
,
(3.4)
где ,
,
,
.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) звена приведена на рисунке 3.2.
Рисунок 3.2 - АФЧХ звена
5) Логарифмические частотные характеристики звена.
,
(3.5)
.
Пусть , тогда:
.
Логарифмические частотные характеристики звена приведены на рисунке 3.3.
Рисунок 3.3 - Логарифмические частотные характеристики звена
1) Уравнение процессов в звене:
(3.6)
2) Операторное уравнение процессов звена:
(3.7)
Передаточная функция звена:
(3.8)
3) Переходная функция звена.
(3.9)
Переходная характеристика звена приведена на рисунке 3.4.
Рисунок 3.4 – Переходная характеристика интегрирующего звена
4) АФЧХ звена.
(3.10)
На рисунке 3.5 приведена ФАЧХ звена.
Рисунок 3.5 – АФЧХ интегрирующего звена
5) Логарифмические частотные характеристики звена.
(3.11)
.
(3.12)
Уравнение (3.11) является уравнением прямой линии с наклоном:
(3.13)
Пусть k=10 – координаты точки, через которую пройдет ЛАХ звена.
На рисунке 3.6 приведена логарифмическая частотная характеристика (ЛЧХ) интегрирующего звена.
Рисунок 3.6 – ЛЧХ интегрирующего звена
3.3 Пропорциональное инерционное звено первого порядка.
1) Уравнение процессов в звене:
,
(3.14)
где Т – постоянная времени звена.
2) Передаточная функция звена:
.
(3.15)
3) Переходная функция звена.
На основе (3.15) можно записать изображение выходного сигнала:
.
.
Поскольку , то переходная функция звена имеет вид:
.
(3.16)
4) АФЧХ звена.
Частотная передаточная функция звена:
;
;
;<(3.17)
.
АФЧХ звена приведена на рисунке 3.7.
Рисунок 3.7 – АФЧХ пропорционального интегрирующего звена первого порядка
Частота сопряжения звена:
.
(3.18)
5) Логарифмические частотные характеристики звена.
Логарифмическая амплитудочастотная функция звена может быть заменена асимптотической характеристикой вида:
(3.19)
Логарифмическая амплитудочастоная характеристика (ЛАХ) состоит из двух линейных участков.
Расчет наклона характеристики на втором участке:
Пусть k=100; Т=0,1с;
ЛЧХ звена приведена на рисунке 3.8.
Рисунок 3.8 – ЛЧХ пропорционального инерционного звена первого порядка
1) Уравнение процессов в звене:
(3.20)
2) ператорное уравнение звена:
;
;
.
(3.21)
3) Частотная передаточная функция звена может быть записана в виде:
АФЧХ дифференцированного звена приведена на рисунке 3.9.
Рисунок 3.9 – АФЧХ дифференцирующего звена
4) Логарифмические частотные характеристики звена:
(3.22)
Пусть Т=0,1с, тогда (3.27) соответствует уравнению прямой линии с наклоном:
.
Первая точка имеет координаты:
ЛЧХ дифференцированного звена приведена на рисунке 3.10.
Рисунок 3.10 – ЛЧХ дифференцирующего звена
3.5 Форсирующее звено первого порядка
1) Уравнение процессов в звене:
(3.23)
2) Операторное уравнение звена:
.
.
Передаточная функция звена:
(3.24)
3) Частотная передаточная функция звена:
При частотная передаточная функция звена имеет вид:
(3.25)
4) Логарифмические частотные характеристики звена.
Логарифмические асимптотические амплитудочастотные характеристики звена:
(3.26)
Пусть k=1; Т=0,1с;
.
ЛЧХ форсирующего звена первого порядка приведена на рисунке 3.11.
Рисунок 3.11 – ЛЧХ форсирующего звена первого порядка
3.6 Пропорциональное инерционное звено второго порядка
1) Уравнение процессов в звене:
(3.27)
2) Операторное уравнение звена:
Передаточная функция звена имеет вид:
(3.28)
Структурная схема звена приведена на рисунке 3.12.
Рисунок 3.12 – Структурная схема звена
Характеристическое уравнение звена имеет вид:
(3.29)
Уравнение (3.29) имеет действительные корни при условии:
(3.30)
т. е. при .
При выполнении условия (3.30) рассматриваемой звено может быть представлено двумя пропорциональными звеньями первого порядка:
(3.31)
Приравнивая правые части (3.285) и (3.31), можно записать следующие уравнения:
(3.32)
назад | оглавление | вперед